بەشی دوەم لە تێڕوانینێکی گشتی له‌مه‌ڕ ماتماتیک ئەی دی ئەلێکسەندەرۆڤ

بەشی دوەم لە

تێڕوانینێکی گشتی له‌مه‌ڕ ماتماتیک

ئەی دی ئەلێکسەندەرۆڤ

چاپتەری دو: ئەریتمەتیک

1. چەمکی ژمارەی تەواو

لە ڕۆژگاری ئەمڕۆدا، ئاشنایەتیمان لەگەڵ چەمکی ژمارەدا بە جۆرێکە کە بە پرۆسەیەکی زۆر خاو هاتوەتە ئاراوە (لێرەدا تەنها باس لە ژمارەی تەواوی پۆزەتیڤ دەکەین). دەتوانین ئەمە لەو ڕەگەزە بەشەرییە جیاوازانەدا ببینین کە هەتا ئەم دواییانەش بە شێوەیەکی نسبی لە روی کۆمەلاتییەوە بەرایی بون، کاتێک کە ژماردنیان دەکرد، ئەو ژمارانەی کە لە سەرو دو یان سێوە بون ناویان نەبو. لە نێو هەندێکی تر لەم ڕەگەزە بەشەرییانەدا ژمارە هەنگاوی زیاتری هەڵگرتبو، بەڵام دوای بڕە ژمارەیەکی کەمی تر دوایی دەهات، بە جۆرێک کە بە شێوەیەکی سادە دەیان گوت ”زۆر” یان بێشومار. دروستبونی زەخیرەیەکی باش لەمەڕ ناوی جیاواز بۆ ژمارەکان پرۆسەیەک بوە کە هێدی هێدی لە نێو گەلە جیاوازەکاندا کەڵەکەبوە.

یەکەمجار ئەم خەڵکانە یان گەلانە ئەو چەمکەیان لا نەبوە کە ژمارە چییە، سەرباری ئەوەی توانیویانە وەک عادەتی ڕۆژانەیان بزانن کە قەبارەی کۆمەڵە بابەتێک چەندە. پێویستە ئەنجامەکەمان ئەوە بێت کە بە شێوەیەکی ڕاستەوخۆ وێنای ژمارەیەکیان کردوە، ئەوا وەک خاسیەتێکی جیانەکراوەی کۆمەڵێک بابەت تەسەوریان کردوە، خاسیەتێک کە بە ڕونی جیایان نەکردوەتەوە. لە رۆژگاری ئەمڕۆدا، وەها عادەتمان بە ژماردنەوە گرتوە کە بە زەحمەت ئەم جۆرە حاڵەتانە دێنە خەیاڵمانەوە، بەلام دەشێت لێیان تێبگەین.

لە ئاستە بەرزە پێشکەوتوەکانی ئایندەی مرۆڤدا، ژمارە وەک خاسیەتی کۆمەڵێک شت دێتە ئاراوە، بەڵام هێشتا لە کۆمەڵە شتەکە وەک ”ژمارەی پوخت” ، واتە وەک ژمارە بە شێوەیەکی گشتی جیانەکراوەتەوە و بە بابەتێکی مەلموسەوە گرێ نەدرابێت. ئەمە هێشتا لە نێو هەندێک خێڵی دیاریکراودا بە ئاشکرا هەیە، وەک دەڵێن دەست هێمایە بۆ پێنچ و ئنسانی کامڵیش رەمزی ژمارە بیستە. لێرەدا نابێت تەنها بە شێوەیەکی پوختگەرایی لە پێنچ تێ بگەین، بەڵکو بە شێوەیەکی ساکارانە لە زەیندا هەیە، وەک چۆن دەڵێین( ئەوەندەی ژمارەی پەنجەکانی دەستێک)، ” بیستیش ئەوەندەی ژمارەی پەنجەکانی دەست و پێ وێنادەکرێت. بە شێوەیەکی تەواو، خەڵکانێک هەن کە چەمکی وشەکانی وەکو ”ڕەش”، ”ڕەق” یان ”بازنەیی” لایان وجودی نییە. بۆ نمونە، ئەم خەڵکانە بۆ ئەوەی بڵێن شتێک ڕەشە، ئەوا بە قەلەڕەشێک بەراوردیان کردوە، یان بۆ ئەوەی ئیشارە بە پێنچ شت بدەن، ئەوا راستەوخۆ ئەم شتانەیان بە دەستێک بەراورد کردوە. بەم شێوەیە، ئیتر ئەو دیاردەیە هاتە ئاراوە کە ناوی جیاواز بۆ شتی جیاواز دروست بو، هەندێک ژمارە بۆ ژماردنی خەڵک، هەندێکی تر بۆ ژماردنی بەلەم، ئیتر بەمجۆرە هەتا ئەوەی کە دە جۆرە ژمارە هاتە مەیدانەوە. لێرەدا پێویستە ئەوە بڵێین کە هێشتا ژمارەی پوختمان بۆ نەهاتۆتە دی، بەڵکو جۆرە سیستەمێکی ناونان لەدایکبو، کە ئیشارەت بە جۆرێکی تایبەت بۆ شتەکان دەکات. لە نێو خەڵکانی تردا، بە گشتی ناوی جودا بۆ ژمارەکان بونیان نەبو، هەروەک بۆ نمونە، وشەیەک بۆ ”سێ” لە ئارادا نەبو، هەرچەندە دەیانتوانی کە بڵێن ”سێ پیاو” یان ”لە سێ جێگادا” شتەکە ئیتر بەمجۆرە بو.

بە هەمان شێوە لە نێوان خۆشماندا، ئەم شتە یان ئەو شتە ڕەشە، بەڵام بە دەگمەن باس لە ”ڕەشی” خۆی دەکەین، کە وشەکە خۆی چەمکێکی پوختە.

ژمارەی کۆمەڵێک شت خاسیەتی کۆمەڵەکە لە ئامێز دەگرێت، بەڵام ژمارەکە بۆ خۆی، بەو جۆرە، واتە ” ژمارە پوختەکە”، خاسیەتێکە لە کۆمەڵە شتەکە ڕوتکراوەتەوە، بە شێوەیەکی سادە و ساکار لە خۆیدا وەک سیفاتی ”ڕەشێتی” یان ”ڕەقێتی” وایە. هەروەک چۆن ڕەشێتی خاسیەتێکی بڵاوی هەمو ئەو شتانەیە کە ڕەنگ خەڵوزیین، بەمجۆرەش ژمارە ”پێنچ” خاسیەتی بڵاوی ئەو کۆمەڵە شتەیە کە ئەوەندەی ژمارەی پەنجەکانن. لەم حاڵەتەدا، دەتوانرێت یەکسانی دو ژمارەکە بە بەراوردێکی سادە بسەلمێنرێن: شتێک لە کۆمەڵەکە وەردەگرین، ئنجا پەنجەیەک دەنوشتێنینەوە، بەمجۆرە پرۆسەی ژماردنەکە ئەنجام دەدەین هەتا دەگەینە کۆتایی کۆمەڵە شتەکە. بە شێوەیەکی شمولیتر، ئەگەر شتەکانی هەردو کۆمەڵەکە جوت جوت بکەین، واتە یەکێک لەم و یەکێک لەوی تر، ئەوا، بە بێ بەکارهێنانی هیچ ژمارەیەک، دەتوانین ئەوە بسەلمێنین کە دو کۆمەڵەکە هەمان ژمارە شت لەخۆدەگرن یان نەء. بۆ نمونە، ئەگەر میوانەکان لەسەر کورسییەکانیان دانیشن، ئەوا بە ئاسانی، بێ ئەوەی پرۆسەی ژماردن بهێنینە ئاراوە، دەتوانین بۆ خاوەن ماڵی بسەلمێنین کە ئایا کورسییەکی لە بیرچوە یان نەء، چونکە شتەکە زۆر ئاشکرایە، یەکێک لە میوانەکان بێ کورسییە و بە پێوە وەستاوە.

بەم شێوەیە، مرۆ دەتوانێت ئەم پێناسەیە بۆ ژمارە دابڕێژێت:

هەر ژمارەیەکی جیای وەکو ” دو،” ”پێنچ،”.. هتد، بریتییە لە خاسیەتی کۆمەڵێک بابەت یان شت کە لە هەمو کۆمەڵەکاندا کە شتەکانیان دەتوانرێت بە شێوەی یەک – بۆ – یەک هاوسەر بکرێن correspondence و ئەمەش لەگەڵ ئەو کۆمەڵە شتانەدا تەواو جودایە کە مەحاڵە ئەم جۆرە پرۆسەی هاوسەرگیرییەیان بەسەردا واری بکرێت. بۆ ئەوەی ئەم خاسیەتە بناسینەوە و بە ڕونی جیای بکەینەوە، واتە، بۆ ئەوەی جەمکی ژمارەیەک (کە بە شێوەیەکی ڕەها ژمارەیە) پێک بهێنین و ناوی وەکو ”شەش” یان ”پێنچ”ی لێ بنێین، ئەوا پێویست بو بڕێکی زۆر لە کۆمەڵە شتەکان بەراورد بکەین. خەڵک، نەوە دوای نەوە، هەتا زەمەنێکی زۆریش، هەمان پرۆسەیان ملیۆنەها جار دوبارە کردوەتەوە، ئا بەم جۆرە و بەم شێوازە، ژمارەکان و پەیوەندی نێوان ژمارەکان دۆزراونەتەوە و هاتونەتە ئاراوە.

2. پەیوەندی لە نێوان ژمارە تەواوەکاندا

کارکردن بە ژمارەکان لە خۆیاندا دەرەنجامی کاردانەوەی پەیوەندییەکانی نێوان شتەکان بو. ئەم خەسڵەتە، تەنانەت لە ناوی ژمارەکانیشەوە دێتە بەرچاو. بۆ نمونە، لای هەندێک لە هیندە سورەکانی ئەمەریکا، ژمارە ”بیست و شەش” بەمجۆرە دەخوێنرێتەوە(لەفزدەکرێت) ”لە سەرو دو دەوە شەش دادەنێم،” کە ئەمەش ڕەنگدانەوەی میتۆدێکی کۆنکریتی ژماردنی شتەکانە. کۆکردنەوەی ژمارەکان بریتیە لە پێکەوە دانانی یان یەکخستنی دو کۆمەڵە یان زیاتر، بەمەش کارەکە وا ئاسان دەکات کە مرۆ بزانێت مانای لێکدەرکردن، لێکدان و دابەشکردن چیە. پرۆسەی لێکدان، بە تایبەت تا ڕادەیەکی زۆر، بە شێوەیەکی ڕون و ئاشکرا، لەو عادەتەوە هەڵقوڵاوە کە بریتی بوە لە ژماردنی ئەو کۆمەڵە شتانەی لە بڕدا یەکسانن، واتە شتی وەکو دو دو، سێ سێ هەتا دوایی.

لە پرۆسەی ژماردندا، مرۆ نەک هەر پەیوەندی لە نێوان ژمارە جیاکاندا دۆزیوەتەوە و ئەزمکردوە، بۆ نمونە، سێ و دو دەکاتە پێنچ، بەڵکو، وردە وردە کۆمەڵێک یاسای گشتی دیاریکراوی داڕشتوە. لە ڕێگای ئەزمونی پراکتیکییەوە، خەڵک بۆیان دەرکەوتوە کە کۆکردنەوە پرۆسەیەک نییە بەند بێت لەسەر ڕیزبەندی ئەو ژمارانەی لە پرۆسەی کۆکردنەوەکەدا بەشدارن، یاخود ئەنجامی ژماردنی کۆمەڵە شتێک، کە پرۆسەی ژماردنیان بەسەردا راڤەدەکەین، هیچ پابەند نییە لەسەر ئەوەی کە چۆن شتەکان ڕیزکراون، ئەمە ڕاستییەکە، لە شوناسی بنچینەیی ”ئۆردیناڵ” و ”کاردیناڵی” ژمارەکاندا ڕەنگی داوەتەوە: یەکەم، دوەم، سێیەم و ئنجا یەک، دو، سێ. بەم شێوەیە، ژمارەکان، وەک جیا و سەربەخۆ بەدەرناکەون، بەڵکو، پەیوەندییەکی ناوەکی لە نێوانیاندا هەیە.

هەندێک لە ژمارەکان، بەو جۆرەی گوزارشت دەکرێن یان ناودەبرێن، تێرمی ژمارەکانی تر لەخۆدەگرن، بۆ نمونە، ”بیست” ئیشارەیە بۆ ” دو کەڕەت دە”، لە فەڕەنسیدا، هەشتا بریتییە لە ” چوار – بیستی” ، نەوەد بریتییە لە ” چوار – بیستی – دە” و ژمارەیەکی ڕۆمانی وەکو VIIIهەشتە و IX نۆ دەگرێتەوە.

بە گشتی، لەوێڕا، نەک هەر ژمارە جیاکان هاتنە ئاراوە، بەڵکو سیستەمێکێ ژمارەیی لەدایکبو کە پەیوەندی هاوبەش و رێسایی لەخۆدەگرت.

بابەتی ئەریتمەتیک بە وردی ئەمەیە، سیستەمی ژمارەکان و پەیوەندی هاوبەش و ڕێساکان. ژمارە پوختە جوداکان لە خۆیاندا خاسیەتی مەلموسیان نییە و بە گشتیش ئنسان ناتوانێت شتێکی زۆر لە بارەیانەوە بلێت. خۆ ئەگەر، بۆ نمونە، لە بارەی خاسیەتی ژمارە شەشەوە لە خۆمان بپرسین، ئەوا سەیردەکەین کە    ،  6 = 2 ط 3 و 6 کۆلکەی 30 هتد. بەلام ژمارە 6 هەمیشە بە ژمارەی ترەوە بەستراوە، لە ڕاستیدا، خاسیەتەکانی ژمارەیەکی زانراو بە وردی لەو پەوەندیانە پێکدێت کە لەگەڵ ژمارەکانی تردا هەیەتی. لە ئەنجامدا، ئەوە ئاشکرایە کە هەمو کردارێکی ژمارەکاری پێکەوەگرێدانێک یان پەیوەندییەک لە نێوان ژمارەکاندا دیاری دەکات. بەمجۆرە، بابەتی ژمارەکاری بریتیە لە پەیوەندی نێوان ژمارەکان. بەڵام ئەم پەیوەندییانە سیمای پوختی پەیوەندییە چەندایەتیە ڕاستییەکانن کە لە نێوان کۆمەڵە بابەتاکاندا هەن، کەواتە، دەشێت بڵێین کە ژمارەکاری (یان ئەریتمەتیک) بریتییە لە زانستی ئەو پەیوەندییە چەنداییەتییە ڕاستییانەی بە پوخت دادەنرێن، واتە، تەنها پەیوەندیین. ژمارەکاری، وەک دەبینین، لە فکری پوختەوە هەڵنەقوڵاوە، هەروەک ئایدیالیستەکان بۆی دەچن، بەڵکو، بریتییە لە ڕەنگدانەوەی خاسیەتە ڕەهاکانی شتە ڕاستەقینەکان، واتە لە ئەزمونی درێژخایەنی پراکتیکییانەی چەندەها نەوەی یەک لە دوای یەکەوە سەری هەڵداوە.

3. هێما بۆ ژمارەکان

کاتێک ژینی کۆمەلایەتی فراوانتر و ئاڵۆزتر بو، گرفتی زۆرتری خستە ئاراوە. نەک تەنها پێویست بو کە ژمارەی شتەکان لە کۆمەڵێکدا تێبینی بکەین و بە کەسانی تریشی بڵێین، بەڵکو ئەمە پێویستیەک بو لەوەبەر ببو بە هۆی بەرجەستەکردنی چەمکی ژمارە و سەهەڵدانی ناویش بۆ ژمارەکان و جگە لەوەی ببو بە شتێکی بنچینەیی بۆ فێربون بۆ ئەوەی کۆمەڵە گەورەکانیش بژمێرین، بۆ نمونە ژمارەی سەرەکان لە ڕانە مەڕیک یان گاگەلێکدا، یاخود ژامارەی کۆمەڵێک خەڵک ئامادەبێت بۆ ئاڵوگۆڕی بازرگانی، ژمارەی ڕۆژەکان بەر لە ڕۆژێکی دیاریکراو و هەتا دوایی، پاشانیش ئاڵوگۆڕکردنی ئەنجامی ئەم ژماردنانە لەگەڵ خەڵکانی تردا. ئەم هەلومەرجە، بە دڵنیاییەوە، پیویستی بە ریفۆرم و چاکردن هەبو لە ناوەکان و هێماکانی ژمارەکاندا.

لەگەڵ سەرهەڵهادانی نوسیندا، هێما و هێماکاریش بۆ ژمارەکان دەستی پێکرد، ئەمەش، ڕۆڵێکی گەورەی لە پەرەسەندنی ژمارەکاریدا یاریکرد. لەوەش گرنگتر، ئەمە یەکەم هەنگاو بو بە ئاڕاستەی ئیشارە و هاوکێشە ماتماتیکیەکان. هەنگاوی دوەم، پێکهاتبو لە پێشکەشکردنی ئیشارەکانی کردارە operations ئەریتمەتیکیەکان و دواییش سیمبولی حەرفی بۆ نەزانراوی وەکو ص بە جدی حسابی بۆ کراوە.

چەمکی ژمارە، وەک هەر چەمکێکی پوختی تر، سیمایەکی ڕاستەخۆی نییە، جگە لەوەی لە ئەقڵدا وێنا دەکرێت، دەنا ناتوانرێت نمایش بکرێت. بەلام فکر دەتوانرێت بە زمان بەرجەستەبکرێت، بە جۆرێک کە بە بونی ناو چەمک بونی نییە. هێماش هەر ناوە، ئەوە نەبێت کە شتێکی زاری نییە، بەڵکو دەنوسرێت و خۆی بۆ ئەقڵ وەک فۆرمی سیمایەکی بینراو نمایش دەکات. بۆ نمونە، ئەگەر بڵێم ” حەوت”، چ وێنەیەک دێتە بەرچاوت؟ لەوانە نییە سێتێکی حەوتی یەک جۆرە شتی بێتە بەرچاوت، بەڵکو لەوانەیە هێمای ”7” بێتە بەرچاوت، کە ئەمە جۆرە چوارچێوەیەکی ڕاست بۆ ژمارەی پوخت ”7” پێکدەهێنێت. لەوەش زیاتر ژمارەیەکی وەکو 18273 زۆر زەحمەتترە کە تەلەفوز بکرێت زیاتر وەک لەوەی بنوسرێت و ناتوانرێت بە وردی لە فۆرمی هیچ جۆرە کۆمەڵە شتێکدا وێنا بکرێت. بەم شێوەیە، هەرەچەندە زەمەنێکی زۆری خایاندوە، هێماکان بون بە هۆکارێک بۆ سەرهەڵدانی چەمکی ژمارەی گەورە، بە جۆرێک بە وردبونەوە و ڕامانی راستەوخۆ یان ژماردنەوە هەرگیز لە دایک نەدەبون. لەگەڵ دەرکەوتنی دەوڵەتدا، بو بە شتێکی زەروری کە باجەکان کۆبکرێنەوە، سوپایەک دروست بکرێت و ڕێک بخرێت و چەندەها شتی تر کە هەمو پێویستی بە کارکردن و بەکارهێنانی ژمارەی گەورە بو.

بەمجۆرە گرنگی هێماکان بۆ ژمارەکان پێکدێت لە، یەکەم، بەرجەستەیەکی ئاسان بۆ چەمکی ژمارەی پوخت فەرهەم دەکەن، ئەمەیە ڕۆڵی ناونانی ماتماتیکی بە گشتی: واتە بەرجەستەی ژمارە پوختەکانی ماتماتیک فەراهەم دەکەن. بەمجۆرە + هێمایە بۆ کۆکردنەوە، ص هیمایە بۆ ژمارەیەکی نەزانراو و aهەر ژمارەیەکەکە لە هاوکێشەیەکدا هەیە. دوەمیش، ئەوەیە کە هێماکان بە جۆرێک خزمەتی ژمارە دەکەن هۆکارێکی سادە و ساکار بۆ واریکردنی کردارە ماتماتیکییەکان فەرهەم دەکەن، چونکە هەمو باش دەزانین کە پرسەکاری و کردارە ماتماتیکییەکان ”لەسەر لاپەڕەکان جەندە ئاسانترە” وەک لەوەی ”لە ناو مێشکدا حساباتییان بۆ بکەین”. ئیشارە فۆرمولا ماتماتیکییەکان بە گشتی ئەم لایەنە پۆزەتیڤەیان هەیە. هەروەها بوارمان پێ دەبەخشن جێگەی بەشێک لە مشتومڕەکەمان بە حساباتی ماتماتیکی و بەشێکی تری بە شطێکی میکانیکیانە بگرینەوە. لەوەش زیاتر، ئەگەر حساباتێک خرایە سەر کاخەز، ئەوا دەبێتە ئەساڵەتێکی ڕەها، هەمو شتێک دەبێتە دیاردەیەکی بەرجاو، هەمو شتێک دەتوانەێت بپشکێنرێت و هەمو شتێکیش دەتوانرێت بە ڕێسای ورد پێناس بکرێت. بۆ نمونە یەکێک وەک ستونی تاک تاک باس لە کۆکردنەوە یان هەر گۆڕانێکی جەبری وەکو چۆن کاتێک شتێک دەبەیتە ئەو بەری هاوکێشەکە و دەبێت بە هۆی گۆڕان لە ئیشارەکەدا، دەکات . دەرەنجامی ئەوەی باسمان کرد، ئاشکرایە کە بە بێ بونی هێمای گونجاو بۆ ژمارەکان، ئەریتمەتیک نەیدەتوانی ئەم پێشکەوتنە بە دەست بهێنێط. لەوەش ڕاستە ئەوەیە کە بە بێ ئیشارە تایبەتەکانی و هاوکێشەکانی،  مەحاڵ بو ماتماتیکیهاوچەرخ بێتە دی.

شتێکی ئاشکرایە ئەو میتۆدە گونجاوە هەرە بەرزەی ئەمڕۆ ژمارەکانی پێ دەنوسرێت هەرگیز نەبوە هەر هەمو سەرتاپا پێکەوە هاتبێتە دی. هەر لە ڕۆژگاری شارستانییە کۆنەکانەوە، هەر لە سەرەتای کلتورەکەیانەوە، چەندەها هێمای جیاواز بۆ ژمارەکان هاتۆنەتە ئاراوە، ئەمانە نەک هەر لە ڕوی زاهیرەوە وەکو ئەمانەی ڕۆژگاری هاوچەرخ نین، بەڵکو لە ڕوی پرینسیپەوە کە هەڵبژێردراون جیاوازن. بۆ نمونە، سیستەمی دەیی لە هەمو شوێنێک بەکار نەدەهات، لە نێو بابلییەکاندا بەشێک لە سیستەمەکەیان دەیی و بەشێکی تری شەستی بو. لە خشتەی ژمارە یەکدا هەندێک لە هیماکانی ژمارەکان لە نێو خەڵکانی جیاوازدا نیشان دەدات. بە تایبەت، لێرەدا سەیردەکەین کە لە نیو یۆنانەکان و دوایش لە نێو ڕوسەکاندا، سودیان لە حەرفەکان بینیوە بۆ پیشاندانی ژمارەکان. هێما عەرەبییەکانی هاوچەرخ و زیاتریش بە شێوەیەکی گشتی، میتۆدەکەی خۆمان بۆ پێکهێنانی ژمارە، لە هندستانەوە، لە سەدەی دەیەمدا، بە هۆی عەرەبەکانەوە هاتوەتە ئەوروپا و لە ڕەوتی چەند سەدەی داهاتودا بە قوڵی و سەختی ڕەگی خۆی داکوتاوە.

یەکەم تایبەتمەندی ئەم سیستەمەی ئێمە ئەوەیە کە سیستەمێکی دەییە. بەڵام ئەمە گرنگییەکی گەورە ناگەیەنێت، چونکە، بۆ نمونە، دەتوانرا سیستەمێکی دو دەیی بەکار بهاتایە، ئەویش بە پێشکەشکردنی هێمای تایبەت بۆ دە و یازدە. گرنگترین شتی سەیر سەبارەت بە سیستەمی ڕێکخستنی ژمارەیی هاوچەرخ بریتییە لە ”مەوقیع”، واتە، بۆ نمونە، ژمارە یەک بە پێی مەوقیعەکەی لە ژمارەیەکدا دەگۆڕێت. بۆ نمونە، لە ژمارەیەکی وەکو 372 دا، ژمارە 3 ئیشارەیە بۆ ژمارەی سەدەکان (واتە سێ سەد)، ژمارە 7 یش، هێمایە بۆ ژمارەی دەکان( واتە حەوت دەیی کە دەکاتە هەفتا). ئەم میتۆدەی نوسین نەک هەر ورد و ئاسانە، بەڵکو حساباتیش ئاسان دەکات. ژمارەی ڕۆمانەکان لەم ڕوەوە زۆر نەشیاوتر بو، هەر هەمان ژمارەی 372 بە بە فۆرمی ڕۆمانی بەمجۆرە دەنوسرێت CCCLXXII ، ئەمەش ئەرکێکی گران و سەختە کاتێک ئنسان هەوڵدەدات دو ژمارەی گەورە لە یەکتر بدات(کەڕەتی یەکتری).

نوسینی خانەیی ژمارەکان بە شێوەیەک بێ یان هەر شێوەیەکی تر پێویست دەکات کە لە هەر کاتیگۆرییەکی ئەو ژمارانەی لابراون سەرنج بدەین، چونکە ئەگەر ئەم کارە نەکەین، ئەوا، بۆ نمونە، لە نێوان ژمارە سی و یەک (31) و ژمارە سێسەد و یەکدا (301) سەرمان لێ تێکدەچێت. لە نیوان سێ و یەکدا، پێوسیتە سفرێک دابنێین، ئەمەش بۆ ئەوەی 301 و 31 لە یەکتر جیابکەینەوە. بابلییەکان لە نوسینە بزمارییەکانیاندا، لە دوا سەدەکانی پێشزاییندا، سفریان بە فۆرمێکی بەرایی بەکارهێناوە، بەڵام نمایشکردنی سفر بە شێوەیەکی سیستەماتیکییانە دەسکەوتی هندییەکانە.[i] ئەمەس یارمەتی هندییەکانیدا کە بە تەواوی بەرەو سیستەمێکی خانەیی هەنگاو هەڵبگرن کە ئەمڕۆ ئێمە بەکاری دەهێنین.

هەر بەم شێوەیە سفر بو بە ژمارەیەک و هاتە ناو سیستەمی ژمارەییەوە. بە تەنها سفر بۆ خۆی هیچ نییە، لە زمانی سانسکریتی هندی کۆندا، تەواو بە بەتاڵ ناودەبرا، بەڵام لەگەڵ ژمارەکانی تردا، سفر هەیبەتێکی بۆ خۆی دروستکرد، کۆمەڵێک خاسیەتی ناسراوی پەیداکرد، بۆ نمونە، هەر ژمارەیەک لەگەڵ سفردا کۆبکەیتەوە، دەکاتە هەر ژمارەکە خۆی، یاخود، هەر ژمارەیەک بگریت و زەربی سفری بکەیت، ئەوا دەکاتە سفر.

4. تیۆری ژمارەیی وەک لقێکی ماتماتیکی پوخت

با بگەڕێنیەوە بۆ ژمارەکاری لە زەمانی کۆندا. کۆنترین دەق لە شارستانیەتی بابلی و میسریدا پارێزراوە دەگەڕێتەوە بۆ هەزارەی دوەمی بەر لە زایین. ئەم تێکستانە و ئەوانەی دواییش دێن گەلێک پرسی فرە چەشنی ژمارەکاری و حلەکانیان لەخۆدەگرن، لە نێوان ئەم پرسانەدا ئەوانەی تێدایە کە ئەمڕۆ بە جەبر ناودەبرێن، وەکو حلەکانی هاوکێشە دوجاکان و تەنانەت سێجاکانیش، بێگومان ئەمانە هەمو، لە فۆرمی پرسی مەلموس و نمونەی بیرکاریدا پێشکەشکراون. هەروەها لە نێوان ئەوانەی بابلییەکاندا، هەندێک خشتەی دیاریکراوی دوجاکان، سێجاکان و هەڵگەڕاوەکانیان هەن. ئەمە ئەوە فەرزدەکەن کە سەرەتای دروستبون و بونیاتنانی خولیای ماتماتیکییە و بە شێوەیەکی ڕاستەوخۆ پەیوەست نەبون بە پرسە پراکتیکییەکانەوە.

لە هەر حاڵەتێکدا بێت، ژمارەکاری لە بابل و میسر باش پەرەیان سەندبو. هەرچۆنێک بێت، هێشتا نەبوبوە تیورییەکی ماتماتیکی ژمارەیی، بەڵکو زیاتر بریتی بو لە کۆمەڵێک حلکردن سەبارەت بە پرسیاری جیاجیا و ڕێسای حسابکردن. تەواو بەم ڕێگایە بو کە ژمارەکاری(ئەریتمەتیک) هەتا ڕۆژگاری ئێستاش لە قوتابخانە سەرەتاییەکاندا دەگوترێتەوە و لای خەڵکانێکیش کە خولیایەکی تایبەتیان بۆ ماتماتیک نەبێت دەتوانن لێی تێ بگەن. ئەمەش بە تەواوی شتێکی شەرعییە، بەلام ژمارەکاری بەم فۆرمە هێشتا تیورییەکی ماتماتیکی نییە. هێشتا تیورمی گشتی سەبارەت بە ژمارە بونی نییە. هەنگاونان بەرەو تیوری ژمارەکاری هێدی هێدی بەرەو پێش هەنگاوی هەڵگرت.

هەروەک ئیشارەی پێدرا، بونی هێماکان بوارمان پێ دەبەخشن کار بە ژمارەی ئەوەندە گەورە بکەین کە مەحاڵە وەک کۆمەڵێک بابەت وێنابکرێن، یان بکەوینە ژماردن هەر لە ژمارە یەکەوە و پێیان بگەین. لە نێو تیرە بەراییەکاندا هەندێک ژمارەی تایبەت هەبون بۆ ئەوەی سێ، دە و سەد پێک بهێنن، بەڵام لە دوای ئەم ژمارانە ئیتر ناکۆتا ”زۆر” دەهات. بە پێچەوانەی ئەم حاڵەتەوە، بەکارهێنانی هێماکان بۆ ژمارەکان یارمەتی چینی، بابلی و میسرییەکانیدا کە بەرەو ژمارە گەورەکانی وەکو هەزار و ملیونیش بچن. لەم قۆناغەدا بو مرۆڤ سەرنجیدا کە زنجیرەی ژمارەکان دەشێت هەتا ناکۆتا درێژبکرێنەوە، هەرچەندە بە وردی نازانین کە ئەم دەرکردنە چەندە زو مرۆ خەیاڵی بۆ چوە، واتە مێژوەکەی دەبێت چ زەمانێک بوبێت. تەنانەت ئەرکەمیدیسیش (287 – 212 پێشزایین) لە نامیلکە نایابەکەیدا ” لم ژمێر” دا ئەو پرسەی گرتە ئەستۆ کە وەسفی میتۆدێک بکات بۆ ناونانی ژمارەیەک کە گەورەتر بێت لە ژمارەی دەنکە لمەکان کە بەسە بۆ پڕکردنی ” گۆی ئەستێرە جێگیرەکان”. بەمجۆرە هەتا ئەو کاتەی ئەرکەمیدسیش ناونانی ئەم ژمارەیە پێویستی بە تەفسیرێکی ورد بو.

لە سەدەی سێیەمی پێشزایندا، یۆنانەکان دەرکیان بە دو ئایدیای گرنگ کرد: یەکەمیان، دەشێت زنجیرەی ژمارەکان هەتا ناکۆتا درێژ بکرێنەوە و دووەمیش، نەک هەر دەشێت کرداری ماتماتیکی یان ژمارەکاری بەسەر ژمارە هەڕەمەکییە دراوەکاندا ڕاڤە بکەین، بەڵکو دەتوانین بە شێوەیەکی گشتی ئاخاوتن لەمەڕ ژمارەکان بکەین و تیورمی گشتی لە بارەیانەوە بەرجەستەبکەین و بسەلمێنین. ئەم ئایدیایە تەمسیلی بە گشتیکردنی بڕێکی زۆر ئەزمونی لەوەبەر، کە ژمارەی کۆنکریتی لەخۆدەگرن، دەکات، کە ئەمەش ڕێسا و میتۆدی لێوە داتاشراوە بۆ بیرکردنەوەی لۆژیکییانە سەبارەت بە ژمارەکان. بەمجۆرە قۆناغێکی پەڕینەوە بۆ ئاستێکی بەرزتر لە پوختگەری abstraction هاتەئاراوە: واتە لە ژمارەیەکی دراوی جوداوە(کە ئەمیش هەر پوخت بو) بۆ هەر ژمارەیەک بە گشتی و هەر ژمارەیەک کە جایز بێت.

ئێمە دەتوانین لە لە پرۆسەی سادەی ژماردنی مادە بە شێوەی یەک لە دوای یەک بچینە سەر پرۆسەی بێ کەناری زانیاری ژمارەکان، ئەویش بە هۆی کۆکردنەوەی یەک لەگەڵ ئەو ژمارەیەی لەوەبەر پێکمان هێناوە. زنجیرەی ژمارەکان بە شێوەیەکی ناکۆتا بە بەردەوام دادەنرێت، هەر لێرەوە چەمکی ناکۆتا هاتە ناو کایەی ماتماتیکەوە. بێگومان، ئەگەر هەر بەردەوام بین بە کۆکردنەوەی یەک لەگەڵ زنجیرەی ژمارەکاندا، ئەوا لە هەقیقەتدا، هەرچەندە دووریش بڕۆین، هەرگیز ناگەینە هیچ شوێنێک: بۆ نمونە، کێ دەتوانێت بگاتە ملیۆن – ملیۆن، بە جۆرێک کە ئەم ژمارەیە دەکاتە نزیکەی چل کەڕەت ژمارەی ئەو چرکانەی لە هەزار ساڵدا هەن؟ بەڵام ئەمە مەسەلەکە نییە، پرۆسەی زیادکردنی یەک بۆ زنجیرە ژمارەییەکە، پرۆسەی دروستبونی بڕە ژمارەی زۆر گەورە لە پرینسپدا شتێكی بێسنورە، بە جۆرێک کە ئیحتیمالی ئەوەی هەیە کە ژمارە زنجیرەییەکان هەموو سنورەکان ببڕن. ئەو هەقیقەتەی گوایە لە روی پڕاکتیکییەوە ژماردن شتێکی سنوردارە شتێک نییە کە پەیوەست بێت بەمەوە، بەڵکو بێگەردییەک یان پوختییەکی لێ بەرهەم دێت. هەر ئەم درێژکردنەوە ناکۆتایەی ژمارە زنجیرەییەکانە کە تیورمە گشتییەکان مامەڵەیان لەگەڵ دەکەن و پەیوەستن پێیانەوە.

ئەگەر هەر تیورمێکی گشتی وەربگرین سەبارەت بە هەر خاسیەتێکی هەر ژمارەیەکی رەمەکی ئەوا متمانەی ئەو تیورمە لە ناوەڕۆکدا سەبارەت بە خاسیەتەکانی ژمارە جیاجیاکان هەتا ناکۆتا بڕدەکات و پاشانیش لە باری چلۆنایەتییەوە دەوڵەمندترە لە هەر پاسادانی هەر متمانەییەک لە هەر ژمارەیەکی تایبەتدا هەمانە. هەر لەبەر ئەم هۆیەشە کاتێک دەبینین کە تیورمە گشتییەکان پێوستە بە مشتومڕی گشتی بسەلمێنرێن کە لە رێسا بنەڕەتییەکانەوە دەست پێدەکات بۆ پێکهێنان و گەڵاڵەکردنی زنجیرەیەک لە ژمارەکان. لێرەدا دیاردەیەکی سەیری قوڵی ماتماتیکی تەسەوردەکەین: ماتماتیک نەک هەر پەیوەندیی چەندایەتییە دراوەکان وەک بابەتی خۆی تاووتوێ دەکات، بەڵکو هەمو پەیوەندییە چەندایەتییە ئیحتیمالەکان و پاشانیش ناکۆتا تاووتوێ دەکات.

لە شاکارە پڕ شۆرەتەکەیدا، ”بنەماکان”، کە لەسەدەی سێی پێشزایین نوسراوە، ئەکلیدس، تیورمی گشتیمان لەمەڕ ژمارە تەواوەکانەوە پێ دەناسێنێت، بە تایبەت، ئەو تیورمە بەناوبانگەی سەبارەت ژمارە خۆبەشە گەورەکانە کە دەڵێت گەورەترین ژمارەی خۆبەش بونی نییە.

بەمجۆرە ژمارەکاری گۆڕاوە بۆ تیوری ژمارەیی و لە پرسگەلێکی کۆنکریتی تایبەتەوە گواستراوەتەوە بۆ بواری چەمکی پوخت و مشتومڕئامێزی، واتە بوە بە بەشێک لە ماتماتیکی ”پوخت”. خۆ ئەگەر وردتر قسەبکەین، ئەوا ئەم ساتە بریتی بو لە سەرهەڵدانی ماتماتیکی پوخت خۆی بە چەند خەسڵەتێکی تایبەتەوە کە لە بەشی یەکەمدا باسمان کرد. بێگومان، پێویستە لەسەرمان تێبینی ئەو هەقیقەتە بکەین کە ماتماتیکی پوخت لە هەمان کاتدا لە ژمارەکاری و جیۆمەترییەوە لەدایکبوە و لەوەو پێشیش لە ڕێساکانی ژمارەکاری و هەندێک بنەما سەرەتاییەکانی جەبردا هەبوە، ئەگەر چی جەبریش لە قۆناخی دواییدا لە ژمارەکاری جیابوەوە و سەربەخۆیی خۆی فەراهەمکرد.

ئەوە ماوە کە هەتا ئەم خاڵە ئەنجامەکانی خۆمان کورت بکەینەوە، چونکە، هەرچەندە بە پەلەش بێت، وەدوی پرۆسەی سەرهەڵدانی ژمارەکاری کەوتوین لە چەمکی ژمارەوە.

5. سروشتی بنەڕەتییانەی ژمارەکاری

1: چۆن چەمکە پوختەکانی ماتماتیک سەرهەڵەدەدەن و لە دونیای واقیعیدا ڕەنگدانەوەی چین؟

ئەم پرسیارە زوتر سەبارەت بە لەدایکبونی ژمارەکاری ئیشارەمان پێدا. چەمکەکانی ئاماژەن و پەیوەستن بە پەیوەندی چەندایەتی کۆمەڵێک بابەتەوە یان شتەوە. ئەم چەمکانە بە ڕێگای پوختەکاری و وەک ئەنجامی شیکاری و بەگشتیکردنی ژمارەیەکی زۆر ئەزمونی پراکتیکی هاتونەتە ئاراوە. بە هێواشی دەرکەوتن و سەریان هەڵدا، یەکەمجار ئەو ژمارانە هاتن کە بەندن بە بابەتە کۆنکریتییەکانەوە، ئنجا ژمارە پوختەکان خۆیان وەک یەکەیەکی سەربەخۆ دروستبون و سەرەنجامیش چەمکی ژمارە بە شێوەیەکی گشتی، هەر ژمارەیەک بڵێیت، هاتەئاراوە. هەر یەک لەم چەمکانە بگریت لە ئەنجامی یەکگرتنی ئەزمونی پراکتیکی و چەمکی پوختی پێشوەختانە بون بە شتێکی واقیعی و مومکن. هەر بەم موناسەبەتەوە، ئەمە یەکێکە لە یاسا بنەڕەتییەکانی دروستبونی چەمکەکانی ماتماتیک: زادەی زنجیرەیەک پرۆسەی یەک لە دوای یەکی پوختەکاری بەگشتیکردنن، هەر یەکەیان لە ئەنجامی یەکخستنی خبرە لەگەڵ چەمکە پوختەکانی لەوەبەردا دروستبون. مێژوی چەمکە ژمارەکارییەکان ئەوە دەخەنەڕو کە تێڕوانینی ئایدیالیستی چەند هەڵەن کاتێک دەڵێن لە ”فکری پوختەوە pure thought ”، واتە لە خوردبونەوەیەکی پێشوەختانەدا هەبون، لە دایکبون.

 2:  بۆچی دەرەنجامە بیرکارییەکان ئەوەندە جێگای متمانەیین و مایەی گۆڕین نین؟

مێژو وەڵامی ئەم پرسیارەمان بۆ دەداتەوە. دەبینین کە دەرەنجامەکانی ژمارەکاری بە هێواشی و لەسەرخۆ دەرکەوتون؛ ئەمانە ڕەنگدانەوەی خبرەیەکی کەڵەکەبوی زۆرە لە ڕەوتی لە ئاسابەدەری چەندەها نەوەدا و بەم ڕێگایە و بە شێوەیەکی تۆکمە لە مێشکی مرۆڤدا خۆیان جێگیرکردوە. هەروەها خۆشیان لە زماندا جێگیرکردوە: جا لە ناوی ژمارەکاندا بێت، لە هێماکاندا بێت، یا لە دوبارەبونەوەی بەردەوامدا بێت، لە هەمان کردارەکاندا بێت کە لەگەڵ ژمارەکاندا ئەنجامدەدرێن، یاخود لە پراکتیزەکردنی بەردەوامدا بێت کە لە ژیانی ڕۆژانەدا دەکرێن. ئا بەم رێگایەیە کە شەفافیەت و یەقینیان فەراهەمکردوە. هەروەها میتۆدەکانی بیرکردنەوەی لۆژیکییانە هەمان سەرچاوەیان هەیە. ئەوەی لێرەدا شتێکی بنەڕەتییە تەنها ئەو هەقیقەتە نییە کە بە ویستی خۆمان دەکرێت دوبارە بکرێنەوە، بەڵکو ئەو متمانەیی و ڕاستییەیە لە خۆیانی دەگرن و لەگەڵ هەمو شتێکی تری ئەم دونیای واقیعەدا پەیوەندییەکی هاوبەشیان هەیە، ئەو پەیوەندییەی لە چەمکە ژمارەییەکان و ڕێسا لۆژیکییەکاندا ڕەنگیان داوەتەوە.

ئەمە ئەو هۆکارەیە کە بۆچی ئەنجامە ژمارەکارییەکان ئەوەندە مایەی قەناعەت و جێگای متمانەن و بڕێکی زۆر لە خبرە دەکەنە شتێکی شمولی و گشتی و هەردوکیشیان، میتۆدی لۆژیک و چەمکی ژمارەکاری، ئاوا هاتونەتە ئاراوە و لە ئەنجامی خبرەی سێ هەزار ساڵە و لەسەر بنەمای ڕێکخستنی بابەتییانەی کە لە دەوروبەرماندا هەیە، لە مێشکماندا خۆیان جێگیر کردوە.

3: سەرباری پوختەکاری چەمکەکانی، بۆچی ژمارەکاری ئەو هەمو راڤەکارییە فراوانەیان هەیە

وەڵامی ئەم پرسیارەی سەرەوە ساکارە. چەمک و دەرەنجامەکانی ژمارەکاری، بڕێکی بێشوومار ئەزمون و خیبرە دەکەنە شتێکی شـولی، بە شێوەیەکی پوخت رەنگدانەوەی ئەو پەیوەندییانەن لە دونیای واقیعدا بە بەردەوامی و لە هەمو شوێنێک بەرەو رومان دەبنەوە. دەتوانین شتەکانی ئەم ژورە بژمێرین، ئەستێرەکان بژمێرین، خەڵک و ئەتۆمەکانیش بژمێرین. ژمارەکاری تەبەننای یەقینی خاسیەتی ئەم شتانە دەکات، بە وردیش، تەنها حیساب بۆ ئەو خاسیەتە گشتییانە دەکات کە ئەنجامەکانیان بەسەر زۆر حاڵەتدا راڤە دەکرێن. دەکرێت بە هۆی سیستەمی پوختگەری ژمارەکارییەوە، راڤەکاری فراوان دەستەبەر بکرێت، هەرچەندە لێرەدا گرنگیشە ئەم پوختگەرییە شتێکی بەتاڵ نەبێت، بەڵکو لە ئەزمونێکی پراکتیکی دورودرێژەوە هاتبێت. هەر هەمان شت بۆ هەمو ماتماتیک راستە، پاشان بۆ هەمو چەمکێکی پوختی تیورییانە راستە. ئیحتیمالی راڤەکاری تیورییەک بەندە لەسەر پانتایی ئەو مادە ئەسڵییەی کە شتەکە دەکاتە شتێکی شمولی و گشتی.

لە هەمان کاتدا، هەمو چەمکێکی پوخت، بە تایبەت چەمکی ژمارە، مەودای گرنگییەکەی وەک ئەنجامی کتومتی پوختییەکەی دیاریکراوە. یەکەم، کاتێک بەسەر هەر شتێکی کۆنکریتیدا پیادەدەکرێت، تەنها ئاوێنەی لایەنێکی شتەکە دەبێت و دواییش وێنەیەکی ناتەواوی ئەو شتەمان پێشکەش دەکات. بۆ نمونە، چەندە زو زو رودەدات، کە تەنها هەقیقەتی ژمارەیی زۆر کەم لە بارەی ماهیەتی مەسەلەکەوە دەڵێت. دوەمیش، چەمکی پوخت لە هەمو شوێنێکدا ناتوانرێت راڤەبکرێت بە بێ چەند مەرجێکی دیاریکراوەوە، مەحالە ژمارەکاری بە سەر پرسی کۆنکریتیدا پیادە بکرێت بە بێ ئەوەی قەناعەت بە خۆمان بهێنین کە راڤەکردنیان لە حاڵەتە تایبەتەکەدا ئەقڵ قبوڵی دەکات. بۆ نمونە، ئەگەر باس لە کرداری کۆکردنەوە بکەین و لە خەیاڵی خۆماندا تەنها شتەکان یەک بخەین، ئەوا بە تەبیعەت هیچ گۆڕان و پێشکەوتێنک بەسەر شتەکان خۆیاندا نەهاتوە. بەڵام ئەگەر بە واقیعی کۆکردنەوەکە پیادەبکەین و شتەکان یەک بخەین، بە هەقیقەت بیان کەین بە یەک، بۆ نمونە کەڵەکەیان بکەین یان فڕێیان بدەینە سەر مێزێک بۆ ئەوەی ببنە گروپێک، ئەوا لەم حاڵەتەدا، تەک بە تەنها کۆکردنەوەی پوخت ئەنجامدراوە، بەڵکو پرۆسەکەش بە راستی رویداوە. ئەم پرۆسەیە تەنها کۆکردنەوەی ژمارەکاری لەخۆناگرێت، بەڵكو بە گشتی تەنانەت لەوانەیە ئەنجامدانیشی مەحاڵ بێت. بۆ نمونە، کاتێک شتەکان هەڵدەدەینە سەر مێزەکە لەوانەیە بشکێن، یاخو نمونەیەکی تر، ئەگەر کۆمەڵێک ئاژەڵی دڕندە یەکخەین، لەوانەیە یەکتر پارچە پارچە بکەەن، یاخود ئەو مادانەی لە کارلێکی کیمیاویدا تێکەڵ بە یەکتر دەکرێن، بۆ نمونە لیترێک ئاو و لیترێک کحول، کە پێویستە دو لیتر بکات، لەوانەیە 1.9 لیتر بکات، ئیتر بەمجۆرە.

ئەگەر نمونەی تر پێویستە، ئەوا شتێکی ئاسانە پێشكەشیان بکەین:

ئەگەر بە کورتی قسەبکەین، هەقیقەت شتێکی مەلموس و کۆنکریتییە، بە تایبەت گرنگە لە بیرمان بێت ئەم هەقیقەتە، ئەگەر ماتماتیک لەبەرچاو بگرین، سیمایەکی پوختەیی هەیە.

4: سەرەنجام، دواجار ئەو پرسەی بەرزمان کردەوە پەیوەستە بەو هێزانەوە کە بون بە هۆی پەرەسەندنی ماتماتیک.

ئەوەی پەیوەندی بە ژمارەکارییەوە هەیە، وەڵامی ئەم پرسە لە رەگی مێژوەکەیەوە رون و ئاشكرایە. بینیمان چۆن خەڵک لە دونیای واقیعییەوە فێربون چۆن ژماردن ئەنجام بدەن و سەردەربکەن لە چەمکی ژمارە و پاشان چۆن ژیانی پراکتیکی، بێگومان لە رێگای خستنەروی پرسیاری سەخترەوە، پیویستی بەوە کرد کە هێما و سیمبول بۆ ژمارەکان دابهێنن. بە وشەیەک، ئنسان دەتوانێت بڵێت کە ئەو هێزانەی بون بە هۆی گەشەکردنی ژمارەکاری هەمو ئیحتیاجات و پیویستییەکانی ژیانی کۆمەڵاتی پێکەوە ببەستنەوە. ئەم پێویستییە پراکتیکییانە و ئەو بیرکردنەوە پوختانەی بەرهەمیان دێنن، پێکەوە بە بەردەوامی کارلێک دەکەن. چەمکە پوختەکان لە خۆیاندا ئامرازێکی بە نرخن بۆ ژیانی پراکتیکی و بە بەردەوامیش بە هۆی پیادەکردنیانەوە باشتر دەکرێن. پوختگەری لە هەمو ئەو شتانەوە کە بنەڕەتی نین کرۆکی مادە واڵادەکات و گەرەنتی سەرکەوتن لەو حالەتانەدا فەراهەم دەکات کە خاسیەتەکان و پەیوەندییەکان رۆڵێکی بەرچاو یاری دەکەن و لە لایەن پوختگەرییەوە پارێزگاری دەکرێن و هەڵدەبژێردرێن، لە مەسەلەی ژمارەکاریدا، بە شێوەی سەرەکی بریتین لە پەیوەندییە چەندایەتییەکان.

لەوەش زیاتر، کاردانەوەی پوخت عادەتەن دورتر هەنگاو هەڵدەگرێت لە پێویستی راستەوخۆی پرسی پراکتیکی. بەمجۆرە، چەمکی ئاوەها ژمارەی گەورەی وەکو ملیۆنێک یان بلیۆنێک کە لەسەر بنەمایەکی حساباتی پراکتیکییەوە وەدەردەکەوێت بەڵام زوتر بێ ئەوەی ئەنجامی پێویستی پراکتیکی و لە بەکارهێناندا  بوبێت. زۆر نمونەی لەم جۆرە لە مێژوی زانستدا هەن، تەنها بەسە کە ژمارە خەیاڵییەکان بە نمونە بهێنینەوە کە لەوەبەر باسمان کرد. ئەمە تەنها حاڵەتێکی تایبەتی دیاردەی پراکتیکی و تیورییە، کە هەمومان پێی ئاشناین، بە شێوەیەکی سەرەکی کارلێکردنی خیبرە و بیرکردنەوەی پوخت.

[i] یەکەم دەستنوسی هندی کە سفری بەکارهێناوە، مێژوەکەی دەگەڕێتەوە بۆ کۆتایی سەدەی نۆی زایینی، لە ژمارە 270 دا تەواو بەجۆرەی لەمڕۆدا دەنوسرێت سفر نوسراوە، بەلام دەشێت کە سفر لەوە زوتر لە دایکبوبێت، لەوانەیە سەدەی شیشدا بوبێت.

نووسراوه‌ له‌لایه‌ن
Chenar